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perpendiculaire à cet axe comme plan des $xy.$ Soit $(t,u,v)$ un des points de la courbe et soit $\alpha$ l’angle générateur du cône, on aura d’abord

$t^{2}+u^{2}=v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha .$

Si $r$ est le rayon vecteur de la projection du point $(t,u,v)$ sur le plan des $xy,$ et que $\theta$ soit l’angle de ce rayon vecteur avec l’axe des $x$, on aura en outre

$\theta =\operatorname {f} (r)$

la fonction $\operatorname {f}$ dépendant de la nature arbitraire de la courbe tracée sur le cône. Or, on a

$\theta =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {u}{t}}\right)\quad$et$\quad r={\sqrt {t^{2}+u^{2}}}$

donc

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {u}{t}}\right)=\operatorname {f} \left({\sqrt {t^{2}+u^{2}}}\right)=\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\,;\qquad$(2)

et les équations (1) et (2) seront celles d’une courbe quelconque, tracées sur la surface conique. On en tirera très-facilement

$\left.{\begin{aligned}t&=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right],\\u&=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\,;\end{aligned}}\right\}$ (3)

d’où

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}&=\left\{\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]-v\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}&=\left\{\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+v\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha .\end{aligned}}\right\}$ (4)

Présentement $(x,y,z)$ étant un quelconque des points de la tangente à la courbe conique au point $(t,u,v),$ on aura