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${\begin{array}{rlrl}\operatorname {Cos} .e&={\frac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}},&\operatorname {Cos} .h&={\frac {U}{\sqrt {T^{2}+U^{2}+V^{2}}}},\\\\\operatorname {Cos} .f&={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}},&\operatorname {Cos} .k&={\frac {V}{\sqrt {T^{2}+U^{2}+V^{2}}}}\,;\end{array}}$

formules au moyen desquelles on peut déterminer les intensités et directions tant de la résultante que du couple résultant, en fonction des intensités des composantes, des coordonnées de leurs points d’application et des quantités angulaires qui en déterminant la direction.

Les équations de condition qui correspondent aux différens cas du théorème proposé se déduisent facilement de ces formules.

1.^o Les équations $P\Delta =0,\ P\Gamma =0$, nécessaires et suffisantes pour l’équilibre du système donnent

${\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}=0,\qquad {\sqrt {T^{2}+U^{2}+V^{2}}}=0,$

équations qui entraînent les suivantes :

${\begin{array}{lll}X=0,&Y=0,&Z=0,\\\\T=0,&U=0,&V=0.\end{array}}$^[1]

2.^o Pour exprimer que l’angle $\Delta \mathrm {P} \Gamma$ est droit, et que, par suite,

1. On trouve à la page 14 du VIII.^e volume du présent recueil, pour parvenir aux équations d’équilibre, une méthode très-simple et très-symétrique, indépendante de théorie des couples ou de tout autre auxiliaire.
   J. D. G.