Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/348

soient $\alpha ',\beta ',\gamma ',\alpha '',\beta '',\gamma '',\alpha ''',\beta ''',\gamma ''',\ldots$ les angles de ces droites avec les axes des $x$ des $y$ et des $z$ ; soient encore $(x',y',z'),(x'',y'',z''),$$(x''',y''',z'''),\ldots$ les points $\mathrm {A_{1}} ,A_{2},A_{3},\ldots$. Soient enfin $\mathrm {D,E,F}$ les coordonnées du point $\Delta ,G,H$ ; $K$ celles du point $\Gamma ,d,e,f$ les angles que forme $\mathrm {P} \Delta$ avec les axes des coordonnées ; et $g,h,k$ les angles que forme $\mathrm {P} \Gamma$ avec les mêmes axes.

Nous aurons d’abord

$\left.{\begin{array}{rlrl}P\Delta &={\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}},&P\Gamma &={\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}},\\\\\operatorname {Cos} .d&={\frac {D}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .g&={\frac {G}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}},\\\\\operatorname {Cos} .e&={\frac {E}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .h&={\frac {H}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}},\\\\\operatorname {Cos} .f&={\frac {F}{\sqrt {D^{2}+E^{2}+F^{2}}}},&\operatorname {Cos} .k&={\frac {K}{\sqrt {G^{2}+H^{2}+K^{2}}}}.\end{array}}\right\}$ (1)

Les coordonnées des points $\mathrm {D_{1},D_{2},D_{3},\ldots } ,$ ne seront autre chose que les projections sur les trois axes des droites $\mathrm {PD_{1},PD_{2},PD_{3},\ldots } ,$ et seront conséquemment exprimées par

${\begin{array}{lll}P'\operatorname {Cos} .\alpha ',&P'\operatorname {Cos} .\beta ',&P'\operatorname {Cos} .\gamma ',\\\\P''\operatorname {Cos} .\alpha '',&P''\operatorname {Cos} .\beta '',&P''\operatorname {Cos} .\gamma '',\\\\P'''\operatorname {Cos} .\alpha ''',&P'''\operatorname {Cos} .\beta ''',&P'''\operatorname {Cos} .\gamma ''',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \end{array}}$

et on aura de plus, par la définition du point $\Delta$