Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/345

1.^o Pour qu’il y ait équilibre entre les forces dont il s’agit, il est nécessaire et il suffit qu’on ait à la fois,

$\mathrm {P} \Delta =0,\qquad \mathrm {P} \Gamma =0,$

ou, en d’autres termes, que le point $\mathrm {P}$ soit le centre commun des moyennes distances tant du système des points $\mathrm {D_{1},D_{2},D_{3},\ldots D_{n}} ,$ que du système des points $\mathrm {G_{1},G_{2},G_{3},\ldots G_{n}} .$

2.^o Lorsqu’aucune de ces conditions n’étant remplie, l’angle $\Delta \mathrm {P} \Gamma$ n’est pas droit, les forces du système ont deux résultantes, situées dans des plans différens.

3.^o Si, au contraire, l’angle $\Delta \mathrm {P} \Gamma$ est droit, elles admettent une résultante unique, parallèle à $\mathrm {P} \Delta$ et représentée en intensité par $n.\mathrm {P} \Delta$.

4.^o Si, en particulier, $\mathrm {P} \Gamma =0,$ cette résultante unique se confond avec $\mathrm {P} \Delta .$

5.^o Si, au contraire, on a seulement $\mathrm {P} \Delta =0,$ les forces du système se réduisent à un couple.

Démonstration. Désignons respectivement pour abréger, par $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,$$\ldots \mathrm {P_{n}}$ les forces $\mathrm {A_{1}B_{1},A_{2}B_{2},A_{3}B_{3},\ldots A_{n}B_{n}} .$ Par le point $\mathrm {P,}$ que nous supposons invariablement lié au système, imaginons deux forces égales et parallèles à $\mathrm {P_{1},}$ mais directement opposées, deux forces égales et parallèles à $\mathrm {P_{2},}$ mais directement opposés et ainsi de suite, jusqu’à la dernière $\mathrm {P} _{n}.$ Nous aurons ainsi des forces égales et parallèles à celles du système et agissant dans le même sens qu’elles, appliquées en $\mathrm {P,}$ et se réduisant conséquemment à une force unique passant par ce point, si toutefois elles ne se font pas équilibre et $n$ couples $\mathrm {P_{1}-P_{1},P_{2}-P_{2},P_{3}-P_{3},P} _{n}-\mathrm {P} _{n},$ ; et il n’y aura rien de changé à l’état du système. Les forces appliquées au point $\mathrm {P}$ seront représentées en intensité et en direction par $\mathrm {PD_{1},PD_{2},PD_{3},\ldots PD_{n}} ,$ d’où il suit que, si $\Delta$ est le centre des moyennes distances des points $\mathrm {D_{1},D_{2},D_{3},\ldots D_{n}} ,$