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${\frac {a-x'}{y'^{2}}}={\sqrt {\frac {\left(4a^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2ar^{2}x-a^{2}r^{2}}{3r^{4}y^{2}}}}.$

Le second membre de cette dernière équation ne renferme plus que les seules cordonnées de la caustique ; en le représentant par ${\frac {1}{M}},$ et en mettant pour $y'^{2}$ sa valeur $r^{2}-x'^{2}$ on aura

$M(a-x')=r^{2}-x'^{2}.$

De cette dernière équation, combinée avec l’équation (1)> on titrera les valeurs de $x'$ et $y'$ qui, substituées dans l’une ou l’autre des équations (7) et (8), donneront l’équation cherchée en $x$ et $y$. Nous n’achevons pas le calcul, qui n’offre plus présentement que des difficultés pratiques, parce que le résultat en serait trop compliqué pour pouvoir être employé utilement.

Puisque l’équation générale de la caustique rapportée à deux axes choisis même de la manière la plus favorable, se présente sous une forme si peu traitable, il convient de remplacer cette équation par une autre entre d’autres variables ; car un problème ne peut être réputé résolu que lorsqu’on est parvenu à un résultat susceptible d’interprétation. Cherchons, par exemple, la relation constante qui doit exister entre la longueur du rayon incident et celle du rayon réfléchi ; le premier étant compté depuis le point rayonnant jusqu’au point d’incidence, et l’autre depuis ce dernier point jusqu’au point de contact du rayon réfléchi avec la caustique.

Soient $P$ et $P'$ ces deux rayons, on aura d’abord

$P={\sqrt {y'^{2}+(a-x')^{2}}}={\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ax'}}\,;\qquad$(12)

et ensuite

$P'={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}={\sqrt {r^{2}-2(x'x+y'y)+\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.$

En éliminant $x,y,y'$ de cette dernière formule, au moyen des équations (1), (7), (8), elle deviendra