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un tétraèdre est le même que le centre commun de gravité de quatre masses proportionnelles aux aires de ses faces, placées respectivement aux sommets opposés.

II. Soit une sphère concentrique à la sphère inscrite au tétraèdre décrite d’un rayon arbitraire, et soit, un point pris arbitrairement sur la surface de cette sphère ; on aura, par l’équation fondamentale rapportée ci-dessus,

$\mathrm {{\overline {PA}}^{2}.BCD+{\overline {PB}}^{2}.CDA+{\overline {PC}}^{2}.DAB+{\overline {PD}}^{2}.ABC}$

$=\mathrm {{\overline {PG}}^{2}(ABC+BCD+CDA+DAB)+{\overline {GA}}^{2}.BCD+{\overline {GB}}^{2}.CDA}$

$+\mathrm {{\overline {GC}}^{2}.DAB+{\overline {GD}}^{2}.ABC} \,;$

c’est-à-dire, la somme des produits des aires des faces d’un tétraèdre par les quarrés des distances des sommets opposés à l’un quelconque des points de la surface d’une sphère concentrique à la sphère inscrite est une quantité constante, égale au produit de l’aire du tétraèdre par le quarré du rayon de cette dernière sphère, augmenté de la somme des produits des aires des faces par les quarrés des distances des sommets opposés au centre de cette même sphère.

III. Soient pris, sur les côtés $\mathrm {AB,BC,CD,DA}$ d’un quadrilatère gauche $\mathrm {ABCD,}$ des points $\mathrm {E,F,G,H,}$ de telle sorte qu’on ait

$\mathrm {AE.BF.CG.DH=AH.DG.CF.BE} \,;$

les quatre points $\mathrm {E,F,G,H}$ seront ainsi dans un même plan. En effet, on pourra toujours déterminer quatre quantités $a,b,c,d,$ de telle sorte qu’on ait

$\mathrm {\frac {AE}{BE}} ={\frac {b}{a}},\quad \mathrm {\frac {BF}{CF}} ={\frac {c}{b}},\quad \mathrm {\frac {CG}{DG}} =A,\quad {\frac {d}{c}},\quad \mathrm {\frac {DH}{AH}} ={\frac {a}{d}}\,;$

alors les points $\mathrm {E,F,G,H}$ seront respectivement les centres de moyennes distances des systèmes