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dans la formule trouvée plus haut, est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de

${\frac {\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots )}{n}},$

lorsqu’on y donne à $x,y,z,\ldots$ toutes les valeurs comprises entre $x$ et $x+g,\ y$ et $y+h,\ z$ et $z+k,\ldots$.

En admettant, comme cela a nécessairement lieu pour toute fonction continue, que $\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots )$ croisse par degrés insensibles, avec $x,y,z,\ldots ,$, il est évident que, pour de certaines valeurs de $x,y,z,\ldots ,$ comprises entre ces limites, elle prendra une valeur égale à ${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0)$ ; et, comme en désignant par $\xi ,\eta ,\zeta ,\ldots$ des nombres indéterminés, compris entre $0$ et $1,$ on peut toujours représenter cette valeur par

${\frac {\operatorname {f} (x+\xi g,y+\eta h,z+\zeta k,\ldots g,h,k,\ldots )}{n}}$

on aura exactement

$\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )=\operatorname {f} (x,y,z,\ldots )+{\frac {\operatorname {f} _{1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1}}$

$+{\frac {\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1.2}}+\ldots +{\frac {\operatorname {f} _{n-1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1.2.3\ldots (n-1)}}$

${\frac {\operatorname {f} _{n}(x+\xi g,y+\eta h,z+\zeta k,\ldots g,h,k,\ldots )}{1.2.3\ldots n}}$

dont le dernier terme est précisément ce que devient le premier

${\frac {\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1.2.3\ldots n}}$

de ceux qu’on supprime, quand on arrête la série au terme précédent, lorsqu’on y substitue $x+\xi g,y+\eta h,z+\zeta k,\ldots$ au lieu de $x,y,z,\ldots$