Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/334

${\begin{aligned}&=\left\{n{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{n}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}(1-\alpha )-nC\right\}(1-\alpha )^{n-1}\\\\&=\left({\frac {\operatorname {d} ^{n}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}-C\right)(1-\alpha )^{n-1}=\left\{\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )-C\right\}(1-\alpha )^{n-1}.\end{aligned}}$

Si donc on prend alternativement pour $nC$ la plus grande et la plus petite valeur que prend

$\operatorname {f} _{n}(x',y',z',\ldots g,h,k,\ldots )$

calculée immédiatement par $n$ différentiations,

${\begin{array}{llll}\mathrm {depuis\ } &x'=x,&y'=y,&z'=z,\ldots \\\mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \ &x'=x+g,&y'=y+h,&z'=z+k,\ldots \,;\end{array}}$

c’est-à-dire, depuis $\alpha =0$ jusqu’à $\alpha =1$, et qu’on désigne ces deux valeurs par $M$ et $m,\ {\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} \alpha }}$ sera constamment négatif, dans cet intervalle, quand on prendra $C={\frac {M}{n}},$ et toujours positif, dans le même intervalle, quand on fera $C={\frac {m}{n}}$ ; on aura donc, en vertu du théorème que nous venons de citer,

${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {M}{n}}$ négatif et ${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-{\frac {m}{n}}$ positif ;

d’où il suit que ${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}$ est compris entre la plus grande et la plus petite valeur que peut prendre ${\frac {\operatorname {f} _{n}(x,y,z,\ldots )}{n}}$ dans le même intervalle, et que l’erreur que l’on commet en négligeant

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),$