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${\frac {\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a)}{b-a}}$

aura aussi le même signe. Posant

$\nu =\operatorname {F} (\alpha )=\left(C-{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}\right)(1-\alpha )^{n},$

$C$ sera une constante qu’on déterminera de manière à donner les limites cherchées. Prenant ensuite, pour les deux limites $a$ et $b,\ \alpha =0,\ \alpha =1$, en sorte que $b-a=1,$ on aura $\operatorname {F} (b)=0,$ puisque le premier terme $C(1-\alpha )^{n}$ de $\operatorname {F} (b)$ s’évanouit quand $\alpha =1,$ et qu’en vertu de l’équation (B) on a pour le second

${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(1-\alpha )^{n}=1.2.3\ldots (n-1)(U-u')-2.3.4\ldots (n-1){\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}(1-\alpha )$

$-3.4.5\ldots (n-1){\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}(1-\alpha )-\ldots -{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(1-\alpha )^{n-1},$

qui s’évanouit aussi, pour la même valeur de $\alpha$, parce qu’elle donne $u'=U$ et que les quantités ${\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }},{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}(1-\alpha ),\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n-1}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}},$ ne peuvent, en général, devenir infinies pour $\alpha =1.$ On a ensuite, pour $\alpha =0$,

$\operatorname {F} (a)=\operatorname {F} (0)=C-{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0)\,;$

donc

${\frac {\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a)}{b-a}}={\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),$

d’ailleurs, d’après les équations (A) et (C),

${\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} \alpha }}=n\left({\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}-C\right)(1-\alpha )^{n-1}-{\frac {\operatorname {d} ^{n}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}(1-\alpha )^{n}$