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$U=u+{\frac {\operatorname {d} u}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{1.2}}+.{\frac {\operatorname {d} ^{3}u}{1.2.3}}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}u}{1.2.\ldots (n-1)}}+{\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0).$

C’est sous cette forme qu’elle se trouve dans divers ouvrages, et en particulier dans ceux de M. Lacroix (Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral, 3.^me édition, page 56).

Le calcul différentiel fait donc connaître immédiatement la valeur de tous les termes qui, dans la formule

$U=u+{\frac {\operatorname {f} _{1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1}}+{\frac {\operatorname {f} _{2}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{2}}+\ldots$

$\ldots +{\frac {\operatorname {f} _{n-1}(x,y,z,\ldots g,h,k,\ldots )}{1.2\ldots (n-1)}}+{\frac {1}{1.2\ldots (n-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),$

précèdent le dernier ${\frac {1}{1.2\ldots (n-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0)$ ; mais celui-ci ne peut être calculé de la même manière, puisque $P={\frac {U-u'}{1-\alpha }}$ contient $U,$ qui est précisément la quantité inconnue dont on cherche la valeur. Il faut donc négliger ce dernier terme et se contenter de calculer les précédens qui donnent, en général, une valeur d’autant plus approchée de $U$ que le nombre de ces termes est plus grand.

Mais, si l’on ne peut pas déterminer la valeur de ${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}(0),$ on peut du moins, par le calcul différentiel, assigner immédiatement deux limites entre lesquelles cette quantité, c’est-à-dire, l’erreur que l’on commet en négligeant ce terme est nécessairement comprise.

Il faut partir, pour cela, d’un théorème connu, savoir : que, si $\nu =\operatorname {F} (\alpha )$ est une fonction de $\alpha$ et que ${\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} \alpha }}$ soit toujours de même signe, depuis $\alpha =a$ jusqu’à $\alpha =b,$ la fonction