Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/327

$\left.{\begin{aligned}U&=u'+{\frac {1-\alpha }{1}}{\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}\\\\&+{\frac {(1-\alpha )^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}\\\\&+{\frac {(1-\alpha )^{3}}{1.2.3}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(1-\alpha )^{n-1}}{1.2.\ldots (n-1)}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}\\\\&+{\frac {(1-\alpha )^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}\end{aligned}}\right\}$ (B)

formule qui se continue indéfiniment, suivant la même loi ; car, en la supposant vérifiée pour tous les termes qui précèdent le reste ${\frac {(1-\alpha )^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}},$ il suffira d’y substituer au lieu de ${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n-1}}}$ la valeur (A) pour obtenir

$U=u'+{\frac {1-\alpha }{1}}{\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}+{\frac {(1-\alpha )^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}+{\frac {(1-\alpha )^{3}}{1.2.3}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}}+\ldots$

$\ldots +{\frac {(1-\alpha )^{n}}{1.2\ldots n}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}+{\frac {(1-\alpha )^{n+1}}{1.2\ldots n}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}P}{\operatorname {d} \alpha ^{n}}},$

qui est la même formule pour un terme de plus ; en sorte qu’étant vraie pour $n$ termes, elle l’est aussi pour $n+1$ puis, par la même raison, pour $n+2$ termes et ainsi de suite.

Comme nous n’avons fait varier que $\alpha$, dans

$u'=\operatorname {f} (x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots ),$

pour en déduire