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$\mathrm {C'}$ et $\mathrm {C'}$ de la même manière, touche $\mathrm {C}$ d’une manière différente ; alors, ce cercle $\mathrm {O}$ touchant $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$ d’une manière différente, leur axe radical $\mathrm {R''}$ sera situé (60) par rapport à $\mathrm {O}$ comme la polaire de similitude inverse $\mathrm {P} _{i''}$ le sera par rapport à $\mathrm {C.}$ Par une semblable raison, l’axe radical $\mathrm {R'}$ sera situé par rapport à $\mathrm {O}$ comme le sera par rapport à $\mathrm {C}$ la polaire de similitude inverse $\mathrm {P} _{i'}$ ; donc le centre radical $r,$ intersection de $\mathrm {R''}$ et $\mathrm {R'}$ sera situé, par rapport à $\mathrm {O,}$ comme le sera par rapport à $\mathrm {C}$ le pôle de similitude $p_{i}$ intersection de leurs homologues $\mathrm {P} _{i'}$ et $\mathrm {P} _{i''}.$ On prouvera de la même manière que $p'_{i}$ et $p''_{i}$ sont aussi situés par rapport à $\mathrm {C'}$ et $\mathrm {C''}$ respectivement, comme $r$ se trouve l’être par rapport à $\mathrm {O.}$ De sorte que $p_{i},p'_{i},p''_{i},$ et $r$ seront des points homologues respectifs de $\mathrm {C,C',C''}$ et $\mathrm {O.}$

Si $\mathrm {C''}$ et $\mathrm {C}$ étaient les deux seuls cercles qui dussent être touchés de la même manière par $\mathrm {O,}$ ce seraient $p_{i'},p'_{i'},p''_{i'}$ et $r$ qui seraient des points homologues respectifs de $\mathrm {C,C',C''}$ et $\mathrm {O}$ ; et si les cercles qui doivent tous être touchés de la même manière par $\mathrm {O}$ étaient $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C',}$ ce seraient $p_{i''},p'_{i''},p''_{i''}$ et $r$ qui seraient des points homologues respectifs de $\mathrm {C,C',C''}$ et $\mathrm {O.}$ On a donc ce théorème.

63. Le centre radical de trois cercles est situe par rapport à un cercle qui les touche tous trois de la même manière que le sont, par rapport à ces trois cercles les pôles de l’un de leurs axes de similitude, pris respectivement par rapport à ces mêmes cercles ; savoir, les pôles de leur axe de similitude directe, si le quatrième cercle touche les trois autres de la même manière, et les pôles de l’un de leurs axes de similitude inverse, si ce quatrième cercle touche deux de ceux-là de la même manière et le troisième d’une manière différente ; auquel cas il faudra choisir celui des trois axes de similitude inverse qui contient le centre de similitude directe de deux cercles qui doivent être touchés de la même manière par le quatrième.

64. Si l’on considère présentement que, lorsque deux figures sem-