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$t=r\operatorname {Cos} .\theta ,\qquad u=r\operatorname {Sin} .\theta ,$

ce qui donnera, en substituant

$r=\pm {\frac {a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta -b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\theta }{a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta +b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\theta }}=\pm {\frac {a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.{\frac {a^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\theta -b^{2}}{a^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\theta +b^{2}}}.$

L’équation mise sous cette forme, on voit aisément 1.^o que le centre de l’ellipse est un point quadruple de la courbe, puisqu’avant de tirer la valeur de $r$, tout était divisible par $r^{4}$ ; 2.^o que les diamètres conjugués égaux sont tangens à la courbe, puisqu’à $r=0$ répond $\operatorname {Tang} .\theta =\pm {\frac {b}{a}}$ ; 3.^o que la courbe rencontre les axes de l’ellipse en des points pour lesquels on a $r=\pm {\frac {a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},$ puisqu’on obtient également ces valeurs, soit qu’on fasse $\theta =0$ ou bien $\theta =90^{\circ }.$ Par une discussion ultérieure, on se convaincra que cette courbe est formée de quatre espaces fermés en forme de feuilles, inscrits dans les angles des diamètres conjugués égaux et formant une sorte de double lemniscate.

Si, dans l’équation polaire, on change $b^{2}$ en $-b^{2},$ on aura, pour l’équation de la courbe relative à l’hyperbole,

$r=\pm {\frac {a^{2}+b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.{\frac {a^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\theta +b^{2}}{a^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\theta -b^{2}}}.$

Comme on aura toujours un facteur $t^{4},$ commun à tous les termes de l’équation, le centre de l’hyperbole sera encore, comme celui de l’ellipse, un point quadruple : mais ce point sera tout-à-fait isolé. Quant au surplus de la courbe, on voit 1.^o qu’elle est imaginaire lorsqu’on a $a>b$ c’est-à-dire, quand l’angle des asymptotes est obtus ; 2.^o que cette courbe est infiniment éloignée, lorsque l’hyperbole est équilatère ; 3.^o enfin que, lorsque l’angle des coor-