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aux tangentes tabulaires $M'',M'''$ ; on devra avoir alors $M''M'''=-1,$ ce qui changera les quatre équations ci-dessus dans les suivantes :

$(M+M')+(M''+M''')=2{\frac {u}{t}},$

$(M+M')(M''+M''')+MM'={\frac {a^{2}t^{2}+b^{2}\left(t^{2}+u^{2}\right)-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{b^{2}t^{2}}},$

$MM'(M''+M''')-(M+M')=2{\frac {a^{2}u^{2}}{b^{2}t^{2}}},$

$MM'=-{\frac {a^{2}u^{2}}{b^{2}t^{2}}}.$

Substituant dans la seconde et dans la troisième les valeurs de $M''+M'''$ et de $MM',$ tirées de la première et de la quatrième, on aura

$(M+M')^{2}-2{\frac {u}{t}}(M+M')+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(t^{2}+u^{2}\right)-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{b^{2}t^{2}}}.$

${\frac {a^{2}u^{2}-b^{2}t^{2}}{b^{2}t^{2}}}(M+M')-2{\frac {a^{2}u^{2}}{b^{2}t^{2}}}.{\frac {t^{2}+u^{2}}{t^{2}}}=0.$

Substituant enfin, dans la première de ces deux-ci, la valeur de $M+M',$ donnée par l’autre, on obtiendra, pour l’équation en $t$ et $u$ du lieu cherché du sommet de l’angle droit mobile dont les côtés sont constamment normaux à l’ellipse,

$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(a^{2}u^{2}+b^{2}t^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}u^{2}-b^{2}t^{2}\right)^{2}=0\,;\quad$(1)

équation du sixième degré.

Pour passer de là à l’équation polaire, il faudra faire