en pourrait déjà conclure, au besoin, que ces trois droites concourent en un même point, centre de gravité cherché ; il resterait donc seulement à établir que ce point en est le milieu commun.
Mais ces deux dernières propositions deviendront manifestes si l’on considère que deux couples d’arêtes opposées d’un tétraèdre sont les quatre côtés d’un quadrilatère gauche. On sait, en effet, que le quadrilatère dont les sommets sont les milieux de ses côtés est un parallélogramme, dans lequel les deux diagonales se coupent à leur milieu commun. Or, on voit que ces diagonales ne sont autre chose que les droites qui joignent les milieux de deux systèmes d’arêtes opposées du tétraèdre.
Quant au centre de gravité de la surface d’un tétraèdre ; en se rappelant que le plan qui divise en deux parties égales l’un des angles dièdres d’un tétraèdre partage l’arête opposée en deux segmens proportionnels aux aires des faces correspondantes (Annales, tom. III, pag. 317), on s’assurera aisément que ce centre de gravité est le centre de la sphère inscrite au tétraèdre dont les sommets sont les centres de gravité des aires des faces du tétraèdre dont il s’agit ; théorème tout-à-fait analogue à celui que M. Poinsot a donné, dans sa Statique, sur le centre de gravité du périmètre d’un triangle.
