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Pour exprimer que la développée est l’enveloppe de l’espace parcouru par la normale, il faudra éliminer ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ entre les dérivées des équations (1) et (10) prises par rapport à $x'$ et $y'$ seulement, ce qui donnera

$8x'y'X-4(x'^{2}-y'^{2})=r^{2}y'.\qquad$(11)

L’équation de la courbe cherchée sera le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$. entre les équations (1), (10), (11).

En résolvant les deux dernières par rapport à $X$ et $Y$ et faisant usage de l’équation (1), il vient

${\begin{aligned}2r^{2}X&=x'^{3},\\4r^{2}Y&=y'\left(r^{2}+2x'^{2}\right).\end{aligned}}$

En ajoutant au quarré de la seconde le quadruple du quarré de la première et en faisant toujours usage de l’équation (1), il viendra

$16r^{4}\left(X^{2}+Y^{2}\right)=4x'^{6}+y'^{2}\left(r^{2}+2x'^{2}\right)^{2}$

$=4x'^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+4r^{2}x'^{2}y'^{2}+r^{4}y'^{2}=r^{4}(r^{2}+3x'^{2})\,;$

ou bien

$16\left(X^{2}+Y^{2}\right)-r^{2}=3x'^{2}\,;$

d’où en cubant

$\left\{16\left(X^{2}+Y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27\left(x'^{2}\right)^{2}\,;$

ou encore en mettant pour $x'^{3}$ sa valeur $2r^{2}X$ trouvée ci-dessus et posant pour abréger, $r=2R$

$\left\{4\left(X^{2}+Y^{2}\right)-R^{2}\right\}^{3}=27R^{4}X^{2}.\qquad$(12)

Équation qui n’est autre que l’équation (7), dans laquelle on aurait changé $y$ en $X,\ x$ en $Y$ et $r$ en $R.$