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$M=0,\quad (1)\qquad M'=0,\quad (2)\qquad M''=0\,;\quad (3)$

Ces surfaces se couperont en $m^{3}$ points qui, dès que $m$ sera plus grand que deux, ne pourront plus être supposés quelconques, puisqu’alors $m^{3}$ surpassera le nombre des points qu’il est permis de prendre au hasard dans l’espace, pour déterminer complètement une surface unique du m^ième ordre. Dans tous les cas, ou obtiendra les coordonnées de ces différens points, en considérant $x,y,z$, dans les équations (1), (2), (3), comme les inconnues d’un même problème déterminé.

Soient représentées par $\lambda$ et $\lambda '$ deux constantes indéterminées, et soit posée l’équation

$\lambda M+\lambda 'M'+M''=0\,;\qquad$(4)

cette équation, à cause de l’indétermination de $\lambda$ et $\lambda ',$ exprimera une infinité de surfaces du m^ième ordre, et, comme chacune de nos quatre équations est comportée par les trois autres, chacune de ces surfaces coupera précisément les lignes d’intersection de deux quelconques des trois proposées en tous les points et aux seuls points où ces lignes seraient coupées par la troisième.

Réciproquement, toute surface qui coupera les lignes d’intersection de deux quelconques des trois proposées précisément en tous les points et aux seuls points où ces lignes seraient coupées par la troisième, devra être une surface du m^ième ordre, dont l’équation soit comportée par les équations (1), (2), (3) ; cette équation ne pourra donc être qu’un cas particulier de l’équation (4) et de nature à pouvoir en être déduite par une détermination convenable des constantes arbitraires $\lambda$ et $\lambda '.$

Soit $m=p+q,\ p$ et $q$ étant des nombres entiers positifs, et supposons que la nature et la situation respective des trois proposées soient telles que, parmi leurs $m^{3}$ ou $(p+q)^{3}$ points d’intersection, il