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d’après ce qui précède (théorème I), les points d’intersection restans de ces courbes, deux à deux, au nombre de $q(p+q),$ pour chaque système de deux courbes, seront sur trois lignes du q^ième ordre dont nous supposons les équations

$Q=0,\quad (4)\qquad Q'=0,\quad (5)\qquad Q''=2\,;\quad (6)$

chacune de ces dernières se rapportant aux deux qui ne lui correspondent pas dans la première série. On devra donc avoir par une détermination convenable de $\lambda$ et $\lambda '$

$\lambda M+M''=PQ',\qquad \lambda 'M'+M''=PQ\,;$

d’où

$\lambda M-\lambda 'M'=P(Q'-Q)$

ou bien

$-{\frac {\lambda }{\lambda '}}M+M'=P{\frac {Q-Q'}{\lambda '}},$

mais, d’après ce qui a été démontré (§. I), pour une détermination convenable de $\mu$, on doit avoir

$\mu M+M''=PQ'\,;$

puis donc qu’en prenant $\mu =-{\frac {\lambda }{\lambda '}}$, on a

$\mu M+M''=P{\frac {Q-Q'}{\lambda '}},$

il s’en suit qu’on doit avoir

${\frac {Q-Q'}{\lambda '}}=Q'',$

c’est à-dire

$\lambda 'Q''+Q'=Q\,;$

ce qui prouve que chacune des équations (4), (5), (6) est comportée par les deux autres, et que conséquemment les trois courbes qu’elles expriment se coupent exactement aux mêmes $q^{2}$ points. On a donc ce théorème général :