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${\frac {y}{x-P'}}={\frac {y'}{x'}},$

ce qui signifie que la parallèle menée par un quelconque des points de la caustique à la normale au point d’incidence correspondant rencontre le diamètre parallèle aux rayons incidens à une distance du centre du cercle réflecteur égale à la longueur du rayon réfléchi.

Occupons-nous présentement de la rectification de la caustique, La formule générale est

$s=\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}.\qquad$(9)

Or, on tire des équations (4) et (5)

${\begin{aligned}2r^{2}\operatorname {d} x&=\left(r^{2}+2y'^{2}\right)\operatorname {d} x'+4x'y'\operatorname {d} y',\\r^{2}\operatorname {d} y&=3y'^{2}\operatorname {d} y'\,;\end{aligned}}$

ce qui donne, en mettant pour $y'\operatorname {d} y'$ sa valeur $-x'\operatorname {d} x',$ donnée par l’équation (1)

${\begin{aligned}2r^{2}\operatorname {d} x&=\left\{\left(r^{2}+2y'^{2}\right)-4x'^{2}\right\}\operatorname {d} x'=3\left(y'^{2}-x'^{2}\right)\operatorname {d} x',\\r^{2}\operatorname {d} y&=-3x'y'\operatorname {d} x'.\end{aligned}}$

On tire de là

${\begin{aligned}\operatorname {d} x&={\frac {3\left(y'^{2}-x'^{2}\right)\operatorname {d} x'}{2r^{2}}}\\\\{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}&=-{\frac {2x'y'}{y'^{2}-x'^{2}}}\end{aligned}}$

d’où

$1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}={\frac {\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}+4x'^{2}y'^{2}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}={\frac {\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{2}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}={\frac {r^{4}}{\left(y'^{2}-x'^{2}\right)^{2}}}\,;$