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nous pourrons considérer l’ensemble de ces tangentes comme une ligne unique du m^ième ordre ayant avec la première $2m$ points d’intersection se confondant deux à deux dans les $m$ points de contact, et situées couséquemment sur deux droites qui se confondent. Mais deux droites qui se confondent forment un système du second ordre ; et par conséquent le précédent corollaire donne celui-ci :

Corollaire VIII. Les $m$ tangentes menées à une ligne du mième ordre, par ses points d’intersection avec une transversale rectiligne quelconque, coupe de nouveau la courbe en $m(m-2)$ points seulement, lesquels appartiennent tous à une seule et même ligne du $(m-2)$ième ordre[1].

Corollaire VIII. Par les $m$ points ou des tangentes issues d’un même point touchent une ligne du mième ordre, on ne peut lui mener que $m(m-2)$ nouvelles tangentes seulement, lesquelles touchent toutes une seule et même ligne du $(m-2)$ième ordre.

§. II.

Considérons présentement trois lignes du m^ième ordre, données sur un même plan, par les équations rationnelles en $x$ et $y$

$M=0,\quad (1)\qquad M'=0,\quad (2)\qquad M''=0\,;\quad (3)$

elles auront, deux à deux, $m^{2}$ points d’intersection. Soit encore, comme ci-dessus, $m=p+q,$ et supposons que ces courbes passent toutes trois par les mêmes $p(p+q)$ points, appartenant tous à une seule et même ligne du p^ième ordre, donnée par l’équation rationnelle en $x$ et $y,$

$P=0\,;$

1. À la page 315 du précédent volume, M. Vallès a démontré que les points de contact de toutes les tangentes menées à une ligne du m^ième ordre par un même point de son plan, appartiennent tous à une seule et même ligne du (m-1)^ième ordre. Il en résulte que les tangentes menées à une ligne du m^ième ordre, par les points où elle est coupée par une transversale rectiligne, touchent toutes une seule et même ligne du (m-1)^ième ordre.