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mêmes systèmes de valeurs pour $x$ et $y$ ; mais, à cause de l’indétermination de $\lambda ,$ la dernière appartient à une infinité de lignes du m.^ième ordre ; ces lignes ont donc la propriété commune de couper l’une quelconque des deux proposées précisément en tous les points et aux seuls points où elle est coupée par l’autre.

Réciproquement, toute ligne qui coupera une quelconque des deux proposées précisément en tous les points et aux seuls points où elle est coupée par l’autre, ne pourra être qu’une ligne du m.^ième ordre dont l’équation soit comportée par les équations (1) et (2) ; cette équation devra donc être un cas particulier de l’équation (3), et de nature à pouvoir en être déduite par une détermination convenable de la constante arbitraire $\lambda$ ^[1].

Soit $m=p+q,\ p$ et $q$ étant deux nombres entiers positifs, et supposons que, pour une certaine valeur de la constante $\lambda ,$ l’équation (3) prenne la forme

PQ=0,\qquad

(4)

$P$ et $Q$ étant des facteurs rationnels des p.^ième et q.^ième degré, respectivement ; il s’ensuivra que, pour cette valeur de $\lambda ,$ l’équation (3) n’exprime plus une courbe unique, mais le système de deux lignes des p.^ième et q.^ième ordre, sur lesquelles conséquemment devront

↑ On pourrait objecter ici que si, par exemple, les deux proposées sont
$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0,\qquad x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0,$

en supposant $\lambda =-1,$ l’équation (3) sera

$(a'-a)x+(b'-b)y+(c'-c)=0,$

qui n’est plus alors que du premier degré ; mais on doit observer que, dans ce cas, la véritable équation (3) est proprement

$0x^{2}+0y^{2}+(a'-a)x+(b'-b)y+(c'-c)=0,$

qui continue d’être du second degré, lorsque $x$ et $y$ sont supposés infinis. Cela revient à dire, comme l’a déjà remarqué M. Poncelet (Propriétés projectives, pag. 49 n.^o 95), qu’indépendamment des deux points d’intersection accessibles, réels ou imaginaires, deux, cercles tracés sur un même plan en ont encore deux autres, toujours imaginaires, qui en sont infiniment distans.

[1] On pourrait objecter ici que si, par exemple, les deux proposées sont
$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0,\qquad x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0,$

en supposant $\lambda =-1,$ l’équation (3) sera

$(a'-a)x+(b'-b)y+(c'-c)=0,$

qui n’est plus alors que du premier degré ; mais on doit observer que, dans ce cas, la véritable équation (3) est proprement

$0x^{2}+0y^{2}+(a'-a)x+(b'-b)y+(c'-c)=0,$

qui continue d’être du second degré, lorsque $x$ et $y$ sont supposés infinis. Cela revient à dire, comme l’a déjà remarqué M. Poncelet (Propriétés projectives, pag. 49 n.^o 95), qu’indépendamment des deux points d’intersection accessibles, réels ou imaginaires, deux, cercles tracés sur un même plan en ont encore deux autres, toujours imaginaires, qui en sont infiniment distans.

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