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$\left\{4\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27\left(y'^{3}\right)^{2}\,;$

mettant donc dans cette dernière, pour $y'^{3},$, sa valeur donnée par l’équation (5), on obtiendra pour l’équation cherchée de la caustique

$\left\{4\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27r^{4}y^{2}.\qquad$(7)

On voit que cette courbe est une ligne du sixième ordre, symétrique par rapport aux deux axes. En la discutant on lui trouvera, sur l’axe des $x$, deux points de rebroussement, situés de part et d’autre du centre du cercle, à une distance de ce centre égale à la moitié de son rayon. On trouvera de plus que cette courbe touche le cercle aux deux extrémités du diamètre perpendiculaire à cejui qui joint les deux points de rebroussement.

Si l’on cherche, la longueur du rayon réfléchi, mesuré depuis le point d’incidence jusqu’à son point de contact avec la caustique ; en représentant cette longueur par $P',$ on aura

$P'={\sqrt {(x-x')^{2}+y-y')^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2(x'x+y'y)+r^{2}}}\,;$

ou, en mettant pour $x$ et $y$ les valeurs données par les équations (4) et (5) et ayant égard à l’équation (1),

$P'={\frac {1}{2}}{\sqrt {r^{2}-y'^{2}}}={\frac {x'}{2}}.\qquad$(8)

Ainsi, dans la caustique par réflexion formée par des rayons parallèles tombant sur la circonférence d’un cercle, la longueur du rayon réfléchi est moitié de celle de la projection, sur la direction commune des rayons incidens, de la normale au point d’incidence ; ce qui offre un nouveau moyen fort simple de décrire la caustique par points.

Au moyen de l’équation (8), l’équation (6) devient