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$\operatorname {F} '(y)R=t'y^{n-1}+t'_{n-2}y^{n-2}+t'_{n-3}y^{n-3}+\ldots +t'_{1}y+t'_{0},\qquad$(15)

$t',t'_{n-1},t'_{n-2},\ldots t'_{0},$ étant des fonctions entières des quantités $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots$$p_{m-1},q_{0},q_{1},q_{2},\ldots q_{n-1},$ on aura

$\operatorname {F} '(y)={\frac {t'}{t}}\,;\qquad$(16)

d’où, en comparant (14) à (16)

${\frac {\operatorname {F} (y)}{\operatorname {F} '(y)}}={\frac {t}{t'}}.\qquad$(17)

Ainsi, on aura la valeur d’une fonction rationnelle quelconque ${\frac {\operatorname {F} (y)}{\operatorname {F} '(y)}}$, par le développement des deux fonctions

$\operatorname {F} (y)R\quad$et$\quad \operatorname {F} '(y)R.$

La formule (17) peut facilement être traduite en théorème.

Le cas le plus simple est celui où l’on cherche uniquement valeur de $y$. Alors on a

$y={\frac {t}{\rho }}$

où

$R=\rho y^{n-1}+\rho 'y^{n-2}+\ldots \quad$et$\quad Ry=ty^{n-1}+t'y^{n-2}+\ldots$

On peut exprimer $t$ en $\rho$ et $\rho '.$ En effet, en substituant la valeur de $R,$ il viendra

$Ry=\rho y^{n}+\rho 'y^{n-1}+\ldots \,;$

or, en vertu de l’équation (2), on a