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$\theta (y)={\frac {1}{\psi '(y)}}\,;$

l’équation (8) donnera

$\operatorname {F} (y)={\frac {\Sigma {\frac {\operatorname {F} (y)R}{\psi '(y)}}}{\Sigma {\frac {R}{\psi '(y)}}}}.\qquad$(11)

Cela posé, on peut d’abord exprimer $R$ par une fonction entière de $y$. En effet, si l’on fait

$\left(z-y_{1}\right)\left(z-y_{2}\right)\ldots \left(z-y_{n-1}\right)=z^{n-1}+v_{n-2}z^{n-2}+v_{n-3}z^{n-3}+\ldots v_{0}=0$

on peut transformer $R,$ qui est une fonction entière et symétrique de $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n-1},$ en fonction entière des coefficiens $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots v_{n-2}.$

Maintenant, on a

$\left(v_{0}+v_{1}z+v_{2}z^{2}+\ldots +v_{n-2}z^{n-2}+z^{n-1}\right)(z-y)$

$=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots +q_{n-1}z^{n-1}+z^{n}$

$=z^{n}+\left(v_{n-2}-y\right)z^{n-1}+\left(v_{n-3}-yv_{n-2}+y^{2}\right)z^{n-2}$

$+\left(v_{n-4}-yv_{n-3}+y^{2}v_{n-2}-y^{3}\right)z^{n-3}+\ldots$

donc

${\begin{aligned}&v_{n-2}=q_{n-1}+y,\\&v_{n-3}=q_{n-2}+yv_{n-2}-y^{2},\\&v_{n-4}=q_{n-3}+yv_{n-3}-y^{2}v_{n-2}+y^{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

d’où il suit que $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots v_{n-2}$ sont des fonctions entières de $y$ ; la fonction $R$ l’est donc aussi ; elle est donc de la forme