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chi avec l’axe des $x$, et, par suite, avec le rayon incident ; ce rayon réfléchi fera avec la normale, au point d’incidence, un angle dont la tangente tabulaire sera

${\frac {p-{\frac {y'}{x'}}}{1+p{\frac {y'}{x'}}}},\quad$c’est-à-dire,$\quad {\frac {px'-y'}{x'+py'}}\,;$

puis donc que l’angle d’incidence est ${\frac {x'}{y'}},$ on aura

${\frac {px'-y'}{x'+py'}}={\frac {y'}{x'}},$

ce qui donne

$p={\frac {2x'y'}{x'^{2}-y'^{2}}}.$

L’équation du rayon réfléchi sera donc

$y-y'={\frac {2x'y'}{x'^{2}-y'^{2}}}(x-x')\,;$

ou bien, en ayant égard à l’équation (1)

$2x'y'x-\left(x'^{2}-y'^{2}\right)y=r^{2}y'.\qquad$(2)

On exprimera que la caustique est l’enveloppe de l’espace parcouru par le rayon réfléchi, en éliminant ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ des dérivées de (1) et (2), prises en regardant $x$ et $y$ comme constans. Or, ces dérivées donnent

${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=-{\frac {x'}{y'}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=-{\frac {2(y'x-x'y)}{2(x'x+y'y)-r^{2}}}\,;$

on aura donc pour troisième condition, en égalant ces deux valeurs,