Lorsqu’un quadrilatère est inscrit à une ligne du second ordre quelconque, on peut envisager ses deux couples de côtés opposés comme deux lignes du second ordre ayant avec la proposée quatre points communs. On peut donc appliquer ici la théorie du §. VI ; c’est-à-dire que si, sur le plan d’un quadrilatère inscrit à une ligne du second ordre, on mène une droite arbitraire, ses points d’intersection avec deux côtés opposés du quadrilatère, ses points d’intersection avec les deux autres et enfin ses points d’intersection avec la courbe seront six points en involution. C’est en cela que consiste le théorème de Desargues mentionné au §. VI. M. Brianchon en a déduit un grand nombre de conséquences particulières, sur lesquelles il serait superflu de revenir.
Supposons que l’on rende fixes les points où la transversale est coupée par trois des côtés du quadrilatère inscrit, et qu’on fasse ensuite varier ce quadrilatère de telle sorte que, sans cesser d’être inscrit, il ait toujours trois de ses côtés dirigés vers les mêmes points, le quatrième côté variera aussi ; mais comme, des six points en involution, cinq demeureront invariables, savoir, les trois points dont il s’agit et les deux points d’intersection de la transversale avec la courbe, le sixième aussi devra être invariable. Donc, si l’on inscrit à une ligne du second ordre une suite de quadrilatères tels que trois de leurs côtés passent constamment, et dans un ordre assigné, par trois points fixes, pris à volonté sur une droite arbitraire, leurs quatrièmes côtés concourront constamment en un quatrième point fixe de la même droite.
Soit un hexagone quelconque inscrit à une ligne du second ordre ; désignons par respectivement, les points de concours des côtés opposés et et et ; menons par les deux sommets oppsés et une diagonale coupant en ; les deux quadrilatères et auront trois
