Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/186

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sidéré l’ensemble des relations (f) comme l’expression de la propriété essentielle et caractéristique du système de trois sections coniques qui ont mêmes points d’intersection. Le principe de Désargues, ainsi généralisé, devient beaucoup plus fécond et plus digne d’intérêt. Le présent mémoire est particulièrement consacré au développement des nombreuses conséquences qui découlent de cette source^[1].

↑ À cause de l’importance de cette propriété, on sera sans doute bien aise d’en trouver ici une démonstration analitique directe et simple, et telle nous paraît être la suivante :
Les équations des trois courbes, rapportées à deux axes quelconques ; étant toujours supposées

$\left.{\begin{aligned}A\,\ x^{2}+B\,\ y^{2}+2C\,\ xy+2D\,\ x+2E\,\ y+F\,\ =0,&\\\\A'\,x^{2}+B'\,y^{2}+2C'\,xy+2D'\,x+2E'\,y+F'\,=0,&\\\\A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0,&\end{aligned}}\right\}\quad$ (1)

on a vu dans une note du §. I, que, pour que ces trois courbes se coupassent aux quatre mêmes points, il fallait que, $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ étant trois multiplicateurs, on eût les six relations suivantes

$\left.{\begin{array}{ll}\lambda A+\lambda 'A'+\lambda ''A''=0,&\lambda D+\lambda 'D'+\lambda ''D''=0,\\\\\lambda B+\lambda 'B'+\lambda ''B''=0,&\lambda E+\lambda 'E'+\lambda ''E''=0,\\\\\lambda C+\lambda 'C'+\lambda ''C''=0,&\lambda F+\lambda 'F'+\lambda ''F''=0,\end{array}}\right\}\quad$ (2)

Cela posé, puisque les courbes sont situées d’une manière quelconque par rapport aux axes, l’axe des $x$ peut, à l’inverse, être considéré comme une transversale quelconque tracée sur le plan de ces trois courbes. Soient respectivement $p$ et $q,\ p'$ et $q',\ p''$ et $q''$ les abscisses des points d’intersection de cette transversale avec les trois courbes, c’est-à-dire, les valeurs de $x$ que donnent leurs équations, lorsqu’on y fait $y=0$ ; nous aurons, par la nature des racines des équations du second degré,

[p186-1] À cause de l’importance de cette propriété, on sera sans doute bien aise d’en trouver ici une démonstration analitique directe et simple, et telle nous paraît être la suivante :
Les équations des trois courbes, rapportées à deux axes quelconques ; étant toujours supposées

$\left.{\begin{aligned}A\,\ x^{2}+B\,\ y^{2}+2C\,\ xy+2D\,\ x+2E\,\ y+F\,\ =0,&\\\\A'\,x^{2}+B'\,y^{2}+2C'\,xy+2D'\,x+2E'\,y+F'\,=0,&\\\\A''x^{2}+B''y^{2}+2C''xy+2D''x+2E''y+F''=0,&\end{aligned}}\right\}\quad$ (1)

on a vu dans une note du §. I, que, pour que ces trois courbes se coupassent aux quatre mêmes points, il fallait que, $\lambda ,\lambda ',\lambda ''$ étant trois multiplicateurs, on eût les six relations suivantes

$\left.{\begin{array}{ll}\lambda A+\lambda 'A'+\lambda ''A''=0,&\lambda D+\lambda 'D'+\lambda ''D''=0,\\\\\lambda B+\lambda 'B'+\lambda ''B''=0,&\lambda E+\lambda 'E'+\lambda ''E''=0,\\\\\lambda C+\lambda 'C'+\lambda ''C''=0,&\lambda F+\lambda 'F'+\lambda ''F''=0,\end{array}}\right\}\quad$ (2)

Cela posé, puisque les courbes sont situées d’une manière quelconque par rapport aux axes, l’axe des $x$ peut, à l’inverse, être considéré comme une transversale quelconque tracée sur le plan de ces trois courbes. Soient respectivement $p$ et $q,\ p'$ et $q',\ p''$ et $q''$ les abscisses des points d’intersection de cette transversale avec les trois courbes, c’est-à-dire, les valeurs de $x$ que donnent leurs équations, lorsqu’on y fait $y=0$ ; nous aurons, par la nature des racines des équations du second degré,

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