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par $\mathrm {S} ,$ on a, par la propriété des équations du second degré,

$P={\frac {AX^{2}+BY^{2}+2CXY+2DX+2EY+F}{A}},\quad S=-{\frac {2(AX+CY+D)}{A}}.$

On obtiendrait des valeurs de même forme pour les produits $P',P'',$ et pour les sommes $S',S'',$ des distances du point $O,$ aux points d’intersection réels ou imaginaires, de la transversale avec les courbes $(c'),(c'',)$ ; de sorte qu’on a

${\begin{aligned}&A\ \,P\ \,=A\ \,X^{2}+B\ \,Y^{2}+2C\ \,XY+2D\ \,X+2E\ \,Y+F\ \,,\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A\ \,S\ \,=-2(A\ \,X+C\ \,Y+D\ \,),\\\\&A\,'P\,'=A\,'X^{2}+B\,'Y^{2}+2C\,'XY+2D\,'X+2E\,'Y+F\,',\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A\,'S\,'=-2(A\,'X+C\,'Y+D\,'),\\\\&A''P''=A''X^{2}+B''Y^{2}+2C''XY+2D''X+2E''Y+F'',\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A''S''=-2(A''X+C''Y+D'').\end{aligned}}$

De là, en ayant égard aux relations (a), on déduit, sur-le-champ ces deux équations

$mAP+A'P'=A''P'',\qquad mAS+A'S'=A''S'',$

qui donnent, par la substitution de $A''-A$ à la place de $mA$

$(A''-A')P+A'P'=A''P'',\qquad (A''-A')S+A'S'=A''S''\,;$

ou bien

$A'(P'-P)=A''(P''-P),\qquad A'(S'-S)=A''(S''-S)\,;$

d’où résulte enfin

${\frac {P'-P}{P''-P}}={\frac {A''}{A'}},\qquad {\frac {S'-S}{S''-S}}={\frac {A''}{A'}}.$

Donc, quelle que soit la transversale, et quel que soit le point $\mathrm {O}$ de sa direction, les différences de l’un quelconque des produits désignées par $P,P',P''$ aux deux autres, ainsi que les différen-