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Replaçons l’origine au centre du cercle réfléchissant, et proposons-nous de déterminer l’équation de l’épicycloïde engendrée par un cercle d’un rayon égal à $a$et roulant sur un autre cercle de même rayon.

Supposons que le cercle générateur, d’abord tangent au cercle base, au point $(x=+a,y=0),$ que nous supposons le point décrivant, s’élève au-dessus de l’axe des $x$, pour décrire la courbe.

Soient, à un instant quelconque, $(x,y)$ le point décrivant et $(x'',y'')$ le centre du cercle générateur ; on aura d’abord

$x''^{2}+y''^{2}=4a^{2},\qquad$(14)

$(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}=a^{2}.\qquad$(15)

La droite menée du centre du cercle mobile au point décrivant, fait avec l’axe des $x$ un angle, dont la tangente tabulaire est ${\frac {y-y''}{x-x''}}.$ Cet angle est l’angle extérieur d’un triangle dont le troisième côté est la droite menée de l’origine au point $(x''',y'')$ ; et, par la nature du mouvement, les angles adjacens à ce troisième côté doivent être égaux ; donc l’angle extérieur dont il s’agit, doit être égal au double de l’un d’eux, dont la tangente est ${\frac {y''}{x''}}\,;$ la tangente tabulaire de cet angle extérieur sera donc

${\frac {2{\frac {y''}{x''}}}{1-\left({\frac {y''}{x''}}\right)^{2}}},\quad$c’est-à-dire,$\quad {\frac {2x''y''}{x''^{2}-y''^{2}}}\,;$

d’où il suit qu’on devra avoir

$\left\{x-\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {y}{x}}\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}=a^{2}\,;$

et dont la propriété commune est que toutes celles de leurs cordes qui passent par l’origine ont une même longueur $2a.$

J. D. G.