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${\frac {2(z-v)}{b}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}={\frac {v}{b}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}+\operatorname {Log} .\left({\frac {v}{b}}+{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}\right),$

ou encore

${\frac {2z-3v}{b}}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}=\operatorname {Log} .\left({\frac {v}{b}}+{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}}}\right)\,;\qquad$(15)

équation dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour $v$ sa valeur (9)

$v={\frac {z\operatorname {Tang} .\alpha +{\sqrt {z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha +4a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}}}}{2\operatorname {Tang} .a}},$

pour obtenir la deuxième équation de la courbe cherchée.

Concevons que, sur la surface du cône on trace une infinité de spirales coniques, en faisant varier la valeur de la constante $a$ ; chacune d’elles, par son développement, donnera naissance à une courbe à double courbure, de la nature de celle qui est demandée. L’ensemble de ces courbes formera une certaine surface dont on obtiendra l’équation en éliminant $a$ ou $b$ des deux équations de la courbe demandée, après avoir amené ces deux équations, au moyen de la relation.

$a=b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha \,;$

à ne plus contenir que l’une ou l’autre de ces deux constantes.