Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/166

${\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}={\frac {z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha \pm {\sqrt {z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha +4a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha }}}}}{2a}}.$

On lèvera l’ambiguïté du signe du radical, en observant que la spirale conique étant sur la surface cherchée, il faut qu’en supposant $x=t,\ y=u,\ z=v,$ ce qui donne $x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha =0,$ les deux membres deviennent identiquement les mêmes, ce qui exige qu’on adopte le signe supérieur. On a donc simplement

${\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}={\frac {z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha +{\sqrt {z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha +4a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha }}}}}{2a}}.\qquad$(9)

On pourrait substituer immédiatement cette valeur dans l’une ou l’autre des équations (7) ; mais en prenant la somme de leurs produits respectifs par $\operatorname {\operatorname {Cos} } .\left({\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}\right)$ et $\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}\right),$ on parvient à l’équation plus simple

${\frac {x}{z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }}\operatorname {\operatorname {Cos} } .\left({\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}\right)+{\frac {y}{z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }}\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}\right)=1,\quad$(10)

dans laquelle mettant pour ${\frac {v\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }{a}}$ sa valeur (9) on a, pour l’équation de la surface développable dont la spirale conique est l’arête de rebroussement.

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {x}{z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }}\operatorname {\operatorname {Cos} } .\left\{{\frac {z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha +{\sqrt {z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha +4a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha }}}}}{2a}}\right\}\\\\+&{\frac {y}{z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha }}\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left\{{\frac {z\operatorname {\operatorname {Tang} } .\alpha +{\sqrt {z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha +4a{\sqrt {x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {\operatorname {Tang} } .^{2}\alpha }}}}}{2a}}\right\}\\\\\end{aligned}}\right\}=1.(11)$