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$x^{2}+y^{2}+2ax=0,$

d’où on conclura pour son équation polaire

$\rho '+2a\operatorname {Cos} .\varphi =0\qquad$(10)

et par suite

$\rho -\rho '=\pm 2a,\quad$ou$\quad \rho =\rho '\pm 2a$

de sorte que le rayon vecteur de la caustique n’est autre que celui du cercle augmenté ou diminué du diamètre de ce cercle.

Voilà donc un troisième moyen bien simple de décrire la caustique par point. Après avoir déterminé son point de rebroussement, on décrira un cercle concentrique au cercle réfléchissant, dont la circonférence passe par ce point ; on mènera par ce même point à ce cercle une série de cordes sur la direction desquelles on portera, de part et d’autre du point où elles se termineront, des longueurs égales au diamètre du cercle intérieur, et l’on aura ainsi, pour chacune, deux, des points de la caustique.

Ainsi, dans le cas d’un point rayonnant situé sur la circonférence d’un cercle réfléchissant, la caustique est une conchoïde, qui a pour directrice un cercle concentrique au cercle réflecteur et un rayon égal au tiers de celui de ce cercle. Le pôle de cette conchoïde, situé sur la circonférence de ce dernier cercle, est en même temps le point de rebroussement de la caustique.

Il suit encore de là que toutes les cordes, menées à la caustique par son point de rebroussement, sont d’une longueur constante et égale au deux tiers du diamètre du cercle réflecteur^[1].

1. Cette courbe est donc (Annales, tom. I, pag. 124) un cas particulier de toutes celles qu’exprime l’équation générale.