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et par suite

$\mathrm {AB'\times BC'\times CA'=BA'\times CB'\times AC'} .\qquad$(1)

Réciproquement, si trois points $\mathrm {A',B',C',}$ sont situés sur les directions des trois côtés $\mathrm {BC,CA,AB}$ d’un triangle $\mathrm {ABC,}$ de telle sorte que cette relation ait lieu, et si en outre le nombre de ceux d’entre eux qui sont sur les prolongemens des côtés est impair, ces trois points appartiendront nécessairement à une même droite.

En effet, il y aura toujours deux de ces points qui seront ou l’un et l’autre sur les côtés, même ou l’un et l’autre sur leurs prolongemens. Soient $\mathrm {A',B'}$ ces deux points ; alors le point $\mathrm {C}$ sera nécessairement sur le prolongement de $\mathrm {AB}$ ; et, s’il n’est pas en ligne droite avec $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B',}$ il faudra qu’en joignant ces deux derniers points par une droite, cette droite coupe la direction de $\mathrm {AB}$ en quelque point $\mathrm {C''}$ différent de $\mathrm {C'}$ mais qui devra se trouver, comme celui-ci, sur le prolongement de $\mathrm {AB.}$

Les trois points $\mathrm {A',B',C''}$ étant ainsi en ligne droite et se trouvant en nombre impair sur les prolongemens des côtés du triangle, on devra avoir, par ce qui précède,

$\mathrm {AB'\times BC''\times CA'=BA'\times CB'\times AC''} \,;\qquad$(2)

d’où, en divisant (1) par (2),

$\mathrm {{\frac {BC'}{BC''}}={\frac {AC'}{AC''}}} \quad$ou$\quad \mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}={\frac {AC''}{BC''}}} \,;$

or, cette équation exprime que la droite $\mathrm {AB}$ est coupée harmoniquement aux points $\mathrm {C,C''}$ ; donc, si elle pouvait avoir lieu, un des points $\mathrm {C',C''}$ devrait, contrairement à l’hypothèse, se trouver entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ; donc le point $\mathrm {C''}$ ne saurait être différent du point $\mathrm {C'}$ ; donc la droite menée par les deux points