lorsqu’on pourra les superposer de telle sorte que les mêmes couleurs coïncident partout.
Observons, en second lieu, que, s’il était question d’appliquer m couleurs différentes aux sommets d’un polygone ouvert, plan ou gauche, de côtés, on le pourrait d’un nombre de manières exprimé par
Observons enfin que, s’il s’agit d’appliquer quatre couleurs différentes sur les quatre faces d’un tétraèdre, on le pourra de deux manières seulement ; puisque après avoir appliqué une couleur quelconque sur une de ses faces, on pourra appliquer les trois restantes sur les trois autres dans deux sens différens. Or, comme la formule (1) se réduit à l’unité seulement, lorsqu’on y suppose et nous sommes fondés à soupçonner que le coefficient de son dénominateur doit être supprimé. Reste maintenant à la vérifier pour les quatre autres polyèdres réguliers, qui ont tous cette propriété commune d’avoir leurs faces opposées deux à deux.
Soit posé un quelconque de ces polyèdres par une de ses faces, prise pour base inférieure, sur un plan horizontal, et faisonsle tourner sur cette base, jusqu’à ce que l’un des côtés de la base supérieure soit tout-à-fait tourné vers nous et dirigé conséquemment de notre gauche à notre droite. Il y aura conséquemment une des faces adjacente à cette base supérieure qui sera aussi tournée vers nous.
Soit joint le centre de la base supérieur à celui de cette face par une droite, puis le centre de cette face à celui de sa voisine à droite par une autre droite, et ainsi de suite du centre d’une face à celui d’une autre face adjacente, en allant constamment vers la droite, sans revenir deux fois sur la même face, jusqu’à ce qu’on soit parvenu au centre de la base inférieure. On formera ainsi un polygone gauche ouvert du genre des spirales ayant sommets et par suite côtés.
