Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/138

$\left\{\left(4a^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left(2ax+a^{2}\right)\right\}^{3}$

$=27r^{4}a^{2}y^{2}\left[(x+a)^{2}-y^{2}\pm 2x(x+a)\right]^{2}$

ou encore

$\left\{\left(4a^{2}-r^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left(2ax+a^{2}\right)\right\}^{3}$

$=27r^{4}a^{2}y^{2}\left\{(x+a\pm x)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}^{2}\,;$

il faudra donc que cette équation soit satisfaite par ce que deviennent les équations (9) dans la même hypothèse ; c’est-à-dire, qu’elle devra être satisfaite en y remplaçant $x^{2}+y^{2}$ par $r^{2},\ ax$ par $r^{2},\ x$ par ${\frac {r^{2}}{a}}$ et $y^{2}$ par $r^{2}-x^{2}$ ou $r^{2}-{\frac {r^{4}}{a^{4}}}$ ou ${\frac {r^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)}{a^{2}}}:$ or elle devient ainsi, en réduisant et simplifiant,

$\left(a^{2}-r^{2}\right)=\left\{{\frac {a^{4}+a^{2}r^{2}+2r^{4}\pm 2r^{2}\left(a^{2}+r^{2}\right)}{a^{2}}}\right\}^{2}\,;$

équation qui ne peut être satisfaite qu’en prenant le signe inférieur du second membre. La véritable équation de la caustique est donc

$\left\{4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27r^{4}\left\{(ay+bx)\left[(x+a)^{2}-(y+b)^{2}\right]-2(x+a)(y+b)(ax-by)\right\}^{2},$

ou en faisant le développement et les réductions dans le second membre,

$\left\{4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\left[(x+a)^{2}+(y+b)^{2}\right]\right\}^{3}$

$=27r^{4}(bx-ay)^{2}\left(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\,;$

équation d’une symétrie parfaite et qui demeure invariablement la même, soit qu’on y permute simultanément $a$ et $x$ avec $b$ et $y$, soit qu’on y permute simultanément $a$ et $b$ avec $x$ et $y$.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Note sur le calcul des conditions d’inégalité ;

Par M. M. Gergonne.

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Dans l’analyse des travaux de l’Académie royale des sciences de Paris, pour 1823 (partie mathématique), M. le baron Fourier,