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caustique ; et, comme le rayon réfléchi, qui a alors même direction que le rayon incident, doit être tangent à la caustique en ce point ; il s’ensuit que le rayon incident tangent au cercle réfléchissant est aussi tangent à la caustique au même point ; c’est-à-dire que la caustique touche le cercle réfléchissant aux deux points où il est coupé par la polaire du point rayonnant.

En ordonnant les équations (2), (3) par rapport à $t$ et $u$, on peut leur donner cette forme

${\begin{aligned}\left(t^{2}-u^{2}\right)(ay+bx)-2tu(ax-by)&=r^{2}\left\{(y+b)t-(x+a)u\right\}\\\\4tu(ay+bx)+2\left(t^{2}-u^{2}\right)(ax-by)&=r^{2}\left\{(x+a)t+(y+b)u\right\}\end{aligned}}$

en éliminant tour à tour entre elles chacun des deux binômes $ax-by$ et $ay+bx,$ on trouvera

$r^{2}(ay+bx)=2(x+a)u^{3}+(y+b)t^{3},\qquad$(4)

$2r^{2}(ax-by)=(x+a)\left(t^{2}+3tu^{2}\right)-(y+b)\left(u^{3}+3t^{2}u\right).$

Ajoutant au quarré de la seconde le quadruple du quarré de la première, en observant que

$(ay+bx)^{2}+(ax-by)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right),$

on trouvera

$4r^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=$

$\left(t^{2}+u^{2}\right)\left\{(x+a)^{2}\left(t^{2}+4u^{2}\right)-6(x+a)(y+b)tu+(y+b)^{2}\left(u^{2}+4t^{2}\right)\right\}\,;$

ou bien, à cause de l’équation (1)

$4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=$

$(x+a)^{2}\left(r^{2}+3u^{2}\right)-6(x+a)(y+b)tu+(y+b)^{2}\left(r^{2}+3t^{2}\right),$

ou encore