Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/133

Le rayon incident, la normale au point d’incidence et le rayon réfléchi feront avec l’axe des  ; des angles dont les tangentes tabulaires seront respectivement

${\frac {b-u}{a-t}},\qquad {\frac {t}{u}},\qquad {\frac {y-u}{x-t}}\,;$

d’où il suit que les tangentes des angles d’incidence et de réflexion feront respectivement

${\frac {{\frac {b-u}{a-t}}-{\frac {u}{t}}}{1+{\frac {u}{t}}.{\frac {b-u}{a-t}}}},\qquad \qquad {\frac {{\frac {u}{t}}-{\frac {y-u}{x-t}}}{1+{\frac {u}{t}}.{\frac {y-u}{x-t}}}}$

ou bien

${\frac {t(b-u)-u(a-t)}{t(a-t)+u(b-u)}},\qquad {\frac {u(x-t)-t(y-u)}{t(x-t)+u(y-u)}},$

ou, en développant, réduisant et simplifiant, à l’aide de l’équation (1)

${\frac {bt-au}{at+bu-r^{2}}},\qquad {\frac {ux-ty}{tx+uy-r^{2}}}\,;$

or, par les lois de la catoptrique, ces deux angles doivent être égaux : égalant donc entre elles leurs expressions il viendra, en chassant les dénominateurs

$(bt-au)(tx+uy-r^{2})+(ty-ux)(at+bu-r^{2})=0.\qquad$(2)

C’est donc là l’équation générale du rayon réfléchi, dans laquelle $t$ et $u$ sont deux paramètres variables, liés entre eux par la relation (1), et conséquemment équivalens à un seul.

La caustique cherchée étant l’enveloppe de l’espace parcouru par ce rayon, lorsqu’on fait varier $t$ et $u$, conformément à la rela-