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={\frac {\pi }{4}}\left[\operatorname {f} (r)-\operatorname {f} (-r)\right]{\sqrt {-1}}.

Il sera pareillement facile de s’assurer que l’intégrale (58) est équivalente à l’expression

(74)

\int _{0}^{1}\left\{x^{a}\varphi (x)+(-1)^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{a}\varphi \left({\frac {1}{x}}\right)\right\}\left[\operatorname {l} (x)\right]^{a}{\frac {\operatorname {d} x}{x}}.

Ajoutons que, dans les diverses formules obtenues, les valeurs numériques des constantes $a,b,r,s,\ldots$ ne seront pas toujours entièrement arbitraires ; et que ces constantes devront être comprises entre certaines limites si, en les étendant au-delà de ces limites, on rend infinies les valeurs des intégrales qui les renferment. Ainsi, en désignant par $\varphi (x)$ une fraction rationnelle dans laquelle le degré du dénominateur surpasse de $m$ unités celui du numérateur, on reconnaîtra sans peine que, dans la formule (58), la constante positive $a$ doit être inférieure au nombre entier $m$ .

Si maintenant on attribue aux fonctions $f(x),\operatorname {f} (x),\varphi (x),\ldots ,$ ou bien aux constantes $a,b,r,s,\ldots$ des valeurs particulières, on déduira des formules générales que nous avons construites la plupart des intégrales définies connues, et une infinité d’autres nouvelles. Je me contenterai de présenter ici quelques-uns des résultats les plus simples.

(75)

\int _{0}^{\infty }x^{a-1}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {a\varpi }{2}}-bx\right){\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}+r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.r^{a-1}.e^{-br}.

(76)

\int _{0}^{\infty }x^{a-1}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {a\varpi }{2}}-bx\right){\frac {r\operatorname {d} x}{x^{2}-r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.r^{a-1}\operatorname {Cos} .\left({\frac {a\varpi }{2}}-bx\right).

(77)

\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{a-1}\operatorname {d} x}{1+x}}={\frac {\varpi }{\operatorname {Sin} .a\varpi }},\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{a-1}\operatorname {d} x}{1+x}}=\varpi \operatorname {Cot} .a\varpi .

(78)

\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{a}\operatorname {d} x}{x^{2}-1}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{a}-{\frac {1}{x^{a}}}}{x-{\frac {1}{x}}}}.{\frac {\operatorname {d} x}{x}}={\frac {\varpi }{2}}.\operatorname {Tang} .{\frac {a\varpi }{2}}.