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en deux équations réelles, lorsqu’on égale séparément à zéro et les parties réelles des deux membres vet les parties multipliées par ${\sqrt {-1}}.$ En opérant ainsi, et prenant pour $\varphi (x)$ une fonction réelle, on obtiendra une multitude de formules, dont quelques-unes sont déjà connues, et parmi lesquelles je citerai seulement les suivantes :

(46)$\int _{0}^{\infty }x^{a-1}\varphi (x)\operatorname {d} x=$

${\frac {2\varpi }{\operatorname {Sin} .a\varpi }}\left\{\rho ^{a-1}\left[+k\operatorname {Cos} .(1-a)\left({\frac {\pi }{2}}+\omega \right)-h\operatorname {Sin} .(1-a)\left({\frac {\pi }{2}}+\omega \right)\right]+\ldots \right\}.$

(47)$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {Cos} .bx\varphi (x)\operatorname {d} x=-2\varpi \left\{\left(K\operatorname {Cos} .bh+H\operatorname {Sin} .bh\right)e^{-bk}+\ldots \right\}.$

(48)$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {Sin} .bx\varphi (x)\operatorname {d} x=-2\varpi \left\{\left(K\operatorname {Sin} .bh-H\operatorname {Cos} .bh\right)e^{-bk}+\ldots \right\}.$

(49)$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {l} \left(r^{2}-2rx\operatorname {Cos} .\theta +x^{2}\right)\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=-2\varpi \left\{K\operatorname {l} \left[r^{2}-2\rho r\operatorname {Sin} .(\omega -\theta )+\rho ^{2}\right]-2H\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .={\frac {\rho \operatorname {Sin} .\omega -r\operatorname {Cos} .\theta }{\rho \operatorname {Cos} .\omega +r\operatorname {Sin} .\theta }}+\ldots \right\}.$

(50)$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .={\frac {r\operatorname {Cos} .\theta -x}{r\operatorname {Sin} .\theta }}.\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=\varpi \left\{H\operatorname {l} \left[r^{2}-2\rho r\operatorname {Sin} .(\omega -\theta )+\rho ^{2}\right]+2K\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .={\frac {\rho \operatorname {Sin} .\omega -r\operatorname {Cos} .\theta }{\rho \operatorname {Cos} .\omega +r\operatorname {Sin} .\theta }}+\ldots \right\}.$

(51)$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .={\frac {s}{x}}.\varphi (x)\operatorname {d} x$

$=\varpi \left\{H\operatorname {l} \left(1+2s\operatorname {Cos} .\omega +s^{2}\right)-2K\operatorname {Arc} .\operatorname {Tang} .={\frac {s\operatorname {Sin} .\omega }{\rho +s\operatorname {Cos} .\omega }}+\ldots \right\}.$

(52)$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x).\operatorname {Arc} .\operatorname {Cot} .x.\operatorname {d} x$

$=\varpi \left\{H\operatorname {l} \left(1+{\frac {2\operatorname {Cos} .\omega }{\rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)-2K\operatorname {Arc} .\operatorname {Cot} .={\frac {\rho +\operatorname {Cos} .\omega }{\operatorname {Sin} .\omega }}+\ldots \right\}.$