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raît encore moins fondée que la précédente. M. Stein dit que, si l’on faisait d’autres hypothèses que les miennes sur la succession des valeurs de $x,$ on parviendrait à des résultats différens des miens ; que si, par exemple, au lieu du dénominateur $4q+2$ on choisissait $2^{q},$ on trouverait, pour la courbe $y=a^{x},$ en suivant mot à mot mon raisonnement, une branche composée de parties continues, séparées par des points, du côté des $y$ négatives ; et que, si l’on prenait pour dénominateur $2q+1,$ ou ne trouverait rien du côté des $y$ négatives.

Avant de répondre à cette objection, je ferai d’abord deux observations : la première, que ni la formule $2^{q}$ ni la formule $4q+2$ n’est propre à représenter tous les nombres entiers. J’ai choisi la dernière uniquement parce qu’elle m’a paru plus propre qu’aucune autre à faire ressortir les résultats que je voulais mettre en évidence. La seconde observation est qu’une série de points infiniment rapprochés ne suffisent pas plus pour constituer une ligne que les sommets d’un polygone pour former le polygone. D’un côté comme de l’autre, il faut que ces points soient liés entre eux ; car une ligne se compose d’élémens et non de points ; et cela prouve, en passant, que l’on a tort de définir les lignes, comme on le fait quelquefois, une série de points infiniment rapprochés^[1].

Maintenant, pour répondre à M. Stein, il me suffira de mettre en regard son raisonnement et le mien, M. Stein donne à $x$ des valeurs qui ont pour dénominateur commun $2^{q}$ ; il trouve plusieurs ordonnées successives réelles : et, sans s’inquiéter si, entre elles, il n’en existe pas d’imaginaires, il conclut qu’il y a continuité, ou bien les valeurs qu’il donne à $x$ ont pour dénominateur com-

1. On peut très-bien définir la ligne une série de points infiniment voisins les uns des autres, pourvu qu’on ajoute cette condition qu’il se trouve toujours un de ces points sur toute droite indéfinie menée sur leur plan, de manière à passer entre le premier et le dernier d’entre eux.
   J. D. G.