Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/97

tes ; mais, comme on connaît la racine qui a formé $a^{n},$ on donnerait au résultat de la deuxième opération une généralité que réellement il n’a pas, si on lui attribuait toute autre valeur que $a$^[1].

Mais, en admettant que cette raison ne soit pas jugée suffisante, en voici une autre qui me paraît sans réplique. On a, en représentant par $A$ la valeur arithmétique de $a^{\frac {m}{n}},$

$a^{\frac {m}{n}}=A.1^{\frac {m}{n}}=A\left(\operatorname {Cos} .2{\frac {m}{n}}k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2{\frac {m}{n}}k\varpi \right).$

Or, si ${\frac {m}{n}}$ est une fraction irréductible, en donnant à $k$ toutes les valeurs entières possibles, on obtiendra $n$ valeurs différentes de $a^{\frac {m}{n}},$ ni plus ni moins. Si, ensuite, on met ${\frac {mp}{np}}$ à la place de ${\frac {m}{n}}$ on aura

$a^{\frac {mp}{np}}=A\left(\operatorname {Cos} .2{\frac {mp}{np}}k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2{\frac {mp}{np}}k\varpi \right)\,;$

or il est facile de voir qu’en donnant à $k$ toutes les valeurs entières possibles dans cette dernière formule, on n’obtiendra jamais que les $n$ valeurs différentes déjà déduites de la première. Il n’est donc pas besoin de donner une restriction arbitraire à la définition des logarithmes, pour réduire l’exposant à ses moindres termes, puisque la formule l’y réduit nécessairement ; ce serait, au contraire, tomber dans cet inconvénient que de donner aux exposans des dénominateurs infinis, et d’établir arbitrairement qu’on ne doit pas les réduire.

Un autre objection, relative aux courbes discontinues, me pa-

1. Voyez l’Algèbre de M. Lacroix, n.^o 172.