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L’enveloppe des cordes qui sous-tendent des arcs de même longueur d’une courbe plane quelconque, touche chacune de ces cordes au point va elle est coupée en raison inverse des longueurs des tangentes à ses deux extrémités ; ou, en d’autres termes, le point de contact de l’enveloppe avec chaque corde et le point où sa direction est rencontrée par la droite qui divise en deux parties égales l’angle des tangentes à ses deux extrémités, sont des points symétriquement situés par rapport au milieu de cette corde.

§. IV.

Supposons encore que, dans la courbe

$y=\varphi (x),$

les cordes $\gamma =0$ doivent toutes être d’une même longueur donnée $c,$ nous aurons

$(\alpha '-\alpha )^{2}+(\beta '-\beta )^{2}-c^{2}=U=0\,;$

d’où

$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)=+2\left[(\alpha '-\alpha )+(\beta '-\beta ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right],$

$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}\right)=-2\left[(\alpha '-\alpha )+(\beta '-\beta ){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right],$

en conséquence l’équation $V=0$ deviendra

$(\beta '-\beta )\left\{y-{\frac {\left(\beta '{\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}-\beta {\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)+(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}}{{\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}-{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}}}\right\}$

$+(\alpha '-\alpha )\left\{x-{\frac {\left(\alpha {\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}-\alpha '{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right)+(\beta '-\beta )}{{\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}-{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}}}\right\}=0\,;$

or l’équation de la corde $\gamma =0,$ étant

$(\alpha '-\alpha )(y-\beta )-(\beta '-\beta )(x-\alpha )=\gamma =0,$