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triangle formé par la corde et les tangentes à ses deux extrémités, forme un parallélogramme dont $\gamma$ est une diagonale.

§. II.

Supposons que les aires des segmens retranchés de la courbo $y=0,$ soient constantes et équivalentes à un quarré donné $c^{2}\,;$ et posons

$\int _{\alpha '}^{0}\varphi (x)\operatorname {d} x=A',\qquad \int _{\alpha }^{0}\varphi (x)\operatorname {d} x=A\,;$

nous aurons

$A'-A-{\frac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )(\beta '+\beta )-c^{2}=U=0$

$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha '}}\right)={\frac {\operatorname {d} A'}{\operatorname {d} \alpha '}}-{\frac {1}{2}}(\beta '+\beta )-{\frac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}={\frac {1}{2}}\left[(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right],$

$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}\right)=-{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} \alpha }}+{\frac {1}{2}}(\beta '+\beta )-{\frac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}={\frac {1}{2}}\left[(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right].$

Substituant ces valeurs dans l’équation $V=0,$ elle deviendra

$\left[(y-\beta )-(x-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right]\left[(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right]+$

$\left[(y-\beta ')-(x-\alpha '){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right]\left[(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right]=V=0\,;$

et on voit aisément qu’elle sera satisfaite par les valeurs de $x$ et $y$ qui satisferont aux deux équations

${\begin{aligned}&(y-\beta )-(x-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}-(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}=0,\\\\&(y-\beta ')-(x-\alpha '){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}-(\beta '-\beta )-(\alpha '-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}=0.\end{aligned}}$

lesquelles se réduisent simplement à