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l’équation d’une courbe plane quelconque, rapportée à des axes rectangulaires. Soient en outre $(\alpha ,\beta ),(\alpha ',\beta ')$ deux points déterminés quelconques de cette courbe ; de telle sorte au’on ait

$\beta =\varphi (\alpha ),\qquad \beta '=\varphi (\alpha ')\,;$

l’équation de la corde qui joindra ces deux points sera

$(\alpha '-\alpha )(y-\beta )-(\beta '-\beta )(x-\alpha )=\gamma =0.$

En supposant qu’il existe, entre $\alpha$ et $\alpha '$ une relation donnée par l’équation

$U=0,$

l’équation de l’enveloppe de toutes les cordes $\gamma =0$ sera le résultat de l’élimination des cinq quantités $\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta ',{\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}$ entre les six équations

$\beta =\varphi (\alpha ),\qquad \beta '=\varphi (\alpha '),$

$(\alpha '-\alpha )(y-\beta )-(\beta '-\beta )(x-\alpha )=\gamma =0,$

$\left[(y-\beta )-(x-\alpha ){\frac {\operatorname {d} \beta '}{\operatorname {d} \alpha '}}\right]{\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}-\left[(y-\beta ')-(x-\alpha '){\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}\right]={\frac {\operatorname {d} \gamma '}{\operatorname {d} \alpha }}=0,$

$U=0,\qquad \left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha '}}\right){\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}+\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}\right)={\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} \alpha }}=0.$

Mais, si l’on ne veut trouver que le point de contact de l’une des cordes contenues dans $\gamma =0$ avec l’enveloppe, il suffira d’éliminer ${\frac {\operatorname {d} \alpha '}{\operatorname {d} \alpha }}$ entre les deux équations