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Rive, de Genève, qui l’a démontré à la page 55 de sa Dissertation sur les caustiques ; (in-4.^o, Genève 1823).

VI. Examinons présentement, d’une manière générale, la direction que prennent des rayons de lumière émanés d’un même point, après s’être réfractés à la rencontre de la circonférence d’un cercle transparent, situé d’une manière quelconque par rapport au point rayonnant. Ici, pour plus de simplicité, nous supposerons le centre du cercle à l’origine ; et le point rayonnant sera $(a,b).$ En conséquence, les équations (2′) et (5′), seront remplacées par ces deux-ci

$x'=a,\qquad y'=b\,;$

l’équation (4) sera

$t^{2}+u^{2}=r^{2}\,;$

d’où

$t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u=0\,;$

au moyen de quoi les équations (1) et (3) deviendront

${\begin{aligned}{\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}}{\lambda ^{2}}}&={\frac {(t-a)^{2}+(u-b)^{2}}{\lambda '^{2}}},\\\\{\frac {u(t-x)-t(u-y)}{\lambda ^{2}}}&={\frac {u(t-a)-t(u-b)}{\lambda '^{2}}}\,;\end{aligned}}$

En réduisant dans la dernière, et en remplaçant dans l’autre $t^{2}+u^{2}$ par $r^{2},$ on obtiendra en $t$ et $u,$ ces deux équations du premier degré

$2\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)t+2\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)u=\lambda '^{2}\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-\lambda ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+r^{2}\right),$

$\left(\lambda '^{2}y-\lambda ^{2}b\right)t-\left(\lambda '^{2}x-\lambda ^{2}a\right)u=0.$