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sera alors satisfaite d’elle-même. Nous n’aurons donc plus à nous occuper que des autres, lesquelles deviendront alors

${\begin{array}{cr}{\frac {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {t^{2}+u^{2}}{\lambda '^{2}}},&(\alpha )\\\\(t-x)\operatorname {d} x+(u-y)\operatorname {d} y=0,&(\beta )\\\\{\frac {(t-x)\operatorname {d} t+(u-y)\operatorname {d} u}{\lambda ^{2}}}={\frac {t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u}{\lambda '^{2}}},&(\gamma )\end{array}}$

$T=0,\ (\delta )\qquad S=0.\ (\varepsilon )$

Si l’on donne la courbe séparatrice, on trouvera la trajectoire orthogonale des rayons réfractés, en éliminant $t$ et $u$ entre les trois équations $(\alpha ),(\beta ),(\delta ),$ Bien convaincus d’ailleurs, par une longue expérience que, dans les calculs, les avantages de la symétrie remportent encore sur ceux de la simplicité, nous supposerons constamment que les données du problème sont disposées, par rapport aux axes, de la manière la plus générale.

III. Supposons, pour premier exemple, que la séparatrice est une droite donnée par l’équation

$at+bu=a^{2}+b^{2}=c^{2},$

dans laquelle, comme l’on sait $(a,b)$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur cette droite et $c$ la longueur de cette perpendiculaire. Nous aurons

$a\operatorname {d} t+b\operatorname {d} u=0,$

au moyen de quoi l’équation $(\gamma )$ deviendra