Si les droites arbitraires sont d’une même longueur quelconque, les masses devront être évidemment proportionnelles aux côtés correspondans du polygone ; c’est-à-dire que, si, par un point quelconque de l’espace, on conduit des droites égales, respectivement parallèles aux côtés d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche ; ce point sera le centre de gravité d’un système de masses proportionnelles aux longueurs des côtés du polygone, placées aux extrémités de ces droites. Ce théorème a été démontré par M. Sturm (tom. XV, pag. 315).
Ainsi notre théorème renferme les deux théorèmes de M. Sturm, comme cas particuliers.
Si le polygone est plan, et que, d’un point pris dans son intérieur, on mène des droites qui fassent dans le même sens des angles égaux quelconques avec ses côtés ; il est évident que, le point et les droites demeurant fixes, on pourra toujours faire tourner le polygone sur leur plan, de telle sorte que ses côtés deviennent respectivement parallèles à ces mêmes droites qui conséquemment pourront être prises pour celles dont il est question dans l’énoncé du théorème.
De là on peut conclure, en particulier, que, un polygone plan étant circonscrit à un cercle, le centre du cercle sera le centre de gravité d’un système de masses proportionnelles aux longueurs des côtés du polygone et placées respectivement aux points de contact de ces côtés avec la circonférence.
