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les. Nous allons montrer comment il peut être résolu pour ces dernières, du moins lorsqu’elles sont d’un degré impair, ou, lorsqu’étant d’au degré pair, elles ont leur dernier terme négatif.

§. I.

Équations de degrés impairs.

Soit l’équation du 3.^me degré, sans second terme,

$x^{3}+px+q=0.\qquad$(1)

Posons

$x^{3}+px+q=3P(x+a)^{3},\qquad$(2)

$a$ et $P$ étant deux indéterminées. Il est clair que, quelles que soient $a$ et $P,$ toute valeur de $x$ qui satisfera à l’équation (2), substituée dans le premier membre de (1) donnera un résultat de même signe que $P\,;$ de sorte que toute valeur réelle de $x,$ dans (1), est nécessairement comprise, quelle que soit $a,$ entre deux valeurs de $x$ dans (2) répondant à des valeurs de $P$ de signes contraires. Tout se réduit donc à profiter de l’indétermination de $a,$ pour rendre cette équation (2) facilement résoluble.

En développant, transposant et ordonnant, elle devient

$x^{3}-3Px^{2}+(p-6aP)x-(3a^{2}P-q)=0.\qquad$(3)

Or, si l’on pose

$p-6aP=3P^{2},\quad$d’où$\quad a={\frac {3P^{2}+p}{6p}},$

cette équation devient

$(x-P)^{3}+\left(P^{3}-3a^{2}P+q\right)=0,$

ou, en mettant pour $a$ sa valeur,