donc implicitement que les angles d’une figure ne dépendent que des rapports des lignes qui la terminant, et non de leur grandeur absolue ; proposition vraie, mais seulement comme conséquence du principe de similitude, dont la démonstration suppose la théorie des parallèles antérieurement établie[1].
- ↑ C’est sans doute une chose très-fâcheuse qu’après plus de deux mille ans d’efforts et de tentatives, on n’ait pu encore parvenir à démontrer les propositions fondamentales de la théorie des parallèles d’une manière satisfaisante pour tout le monde ; car on a vu ailleurs (tom. X, pag. 161) que les démonstrations fondées sur l’emploi de l’algorithme fonctionnel, sur le mérite desquelles M. Stein ne s’explique pas, sont elles-mêmes sujettes à des objections assez graves.
Lorsqu’une droite indéfinie tourne sur un point d’une autre droite indéfinie, sans quitter le plan qui les contient, elle peut prendre, par rapport à celle-ci, deux situations principales très-remarquables ; savoir : celle où elle se confond avec elle, et celle où elle fait avec elle, de part et d’autre, deux angles égaux. Il est de soi-même manifeste que la première de ces deux situations est unique ; et il est à peu près aussi clair que l’autre l’est également, qu’il est clair qu’une même longueur ne saurait avoir deux milieux.
Que si la droite mobile tourne sur un point situé hors de la direction de la droite fixe, elle ne pourra plus se confondre avec elle ; mais elle pourra encore, comme dans le premier cas, faire avec elle des angles égaux, ou bien elle pourra ne point la rencontrer, quelque loin et dans quelque sens qu’on la prolonge ; et on démontre très-nettement que chacune de ces deux situations est possible. Mais, tandis qu’on démontre en outre, très-nettement et très-brièvement, de la première qu’elle est unique, on ne peut parvenir à le démontrer de la seconde ; c’est-à-dire, que, tandis qu’on démontre très-bien que, dans un même plan, on ne peut mener qu’une seule droite par un point donné qui fasse des angles égaux avec une autre droite donnée ; on ne peut démontrer que, par un point donné hors d’une droite, on ne peut mener, dans le plan qui contient l’un et l’autre, plus d’une droite qui ne la rencontre pas ; et c’est en cela que consiste toute la difficulté de la théorie des parallèles.
Aussi long-temps donc qu’on ne sera pas parvenu à tirer cette dernière proposition de la définition des parallèles, par une déduction logique rigoureuse, il faudra se résigner à admettre sans démonstration soit cette proposition soit, à l’exemple d’Euclide, quelque autre proposition de laquelle celle-là puisse être
