Discutons présentement les démonstrations où l’on compare entre elles deux surfaces angulaires.
Ces démonstrations reposent toutes sur cette proposition fondamentale que deux angles sont entre eux comme les espaces angulaires indéfinis compris entre leurs côtés. Or, il est d’abord facile de voir que cela ne saurait être généralement et rigoureusement vrai qu’autant qu’on supposera, tacitement du moins, que ces espaces angulaires sont des secteurs circulaires de rayons égaux, quoiqu’infinis. Mais alors toutes les démonstrations que l’on a appuyées jusqu’ici sur la proposition fondamentale que nous venons de rappeler, ne sauraient être admises sans subir des modifications qui sont encore à trouver, et qui ne permettront probablement plus de les rendre indépendantes de la théorie des parallèles. Si, par exemple, au lieu de faire voir que la somme des trois angles d’un triangle vaut deux angles droits, ainsi qu’on l’a fait dans un des premiers volumes des Annales[1], on voulait procéder suivant
- ↑ La démonstration que rappelle ici M. Stein peut être beaucoup simplifiée, en la présentant ainsi qu’il suit :
perpendiculaire et une oblique à une même droite pouvaient ne pas se rencontrer, il arriverait cette double absurdité qu’un angle obtus serait entièrement contenu dans un angle droit et un angle droit dans un angle aigu.
Nous sentons bien qu’on nous objectera, sur-le-champ, qu’un angle droit peut excéder un autre angle droit d’une quantité même infinie ; mais, comme d’ailleurs deux angles droits peuvent se convenir parfaitement, nous en tirerons celle conséquence, que nous ne serons plus dès lors tenus de prouver, savoir, que cette quantité, bien qu’infinie doit être réputée nulle, par rapport à l’angle droit.
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